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    單位的概念

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     (圖 一)
  學童使用「ㄕˊ,ㄦˋㄕˊ,ㄙㄢㄕˊ,ㄙㄢㄕˊ一,ㄙㄢㄕˊㄦˋ,ㄙㄢㄕˊㄙㄢ,ㄙㄢㄕˊㄙˋ」這種方式點數圖一中共有多少個圓圈時,他一共使用了幾種單位?為了書寫上的方便,我們使用數字「10,20,30,31,32,33,34」來替代唸出的數詞。
  多數成人都認為在點數的過程中,同時使用了「10」和「1」兩種單位。其實不然,使用上述方式點數時,只使用了「1」一種單位。為了溝通方便,請使用「個」當做量詞重新描述點的過程:「10個、20個、30個、31個、32個、33個、34個」;再使用「個」當做量詞來點數圖一中最上面這排有幾個圓圈:「1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個、9個、10個」,與最下面的這排有多少個圓圈:「1個、2個、3個、4個」。各位是否發現,在上述的點數過程中,只使用了「1個」這一種單位。
   使用「10,20,30,31,32,33,34」這種方式點數,其實只是省略了「1、2、3、…、32、33、34」中部份的數詞,例如在點數呈不規則排列的圓圈數時,成人會一邊點數,一邊在心中默唸「1、2、3、4、5、6、7、8、9、10」,等點到「10」的時候,才發出聲音唸出數詞「ㄕˊ」,接著繼續在心中默唸「1、2、3、4、5、6、7、8、9、10」,等點數到「10」的時候,再發出聲音唸出數詞「ㄦˋㄕˊ」。也就是說,使用「10,20,30,31,32,33,34」的方式點數時,只是省略了「1、2、3、…、9,11、12、13、…、19,21、22、23…、29」這些數詞,而不是使用了兩種單位。
   如果「 10個 」是一個新的單位,就必須給它一個新的量詞,例如稱「10個」為「1堆」,學童可以使用「1堆、2堆、3堆」、「1個、2個、3個、4個」的方式,分別點數出圖(一)中有3「堆」圓圈和4「個」圓圈,並得到3堆和4個合起來有34個的結果。上述這種點數方式,同時使用了「堆」和「個」兩種量詞,才是同時使用兩種單位的點數方式。
  當學童將一個數視為一個集聚單位(數個「1」所合成的一個集合體,學童可以將這個集合體視為一個整體,但是這個集合體尚未變成可以被計數的單位),例如學童將5個「1」合成為一個集聚單位「5」,如果「5」是學童首次做出的集聚單位,這個「5」並不是一個可以被計數的單位(此時,「1」已經是一個可以被計數的單位);要讓「5」成為一個新的可被計數的單位,首先學童要有很多做集聚單位「5」的經驗,能夠一再地複製「5」,並且知道這些複製出的集聚單位「5」彼此之間都相等(等價),進而可以點數有多少個「5」,此時,「5」開始成為一個可以被計數的單位;當「5」是一個可以被計數的單位時,學童在點數有幾個「1」與點數有幾個「5」的過程中,可能會混淆其點數的意義(因為在點數有幾個「1」,與點數有幾個「5」的過程中,都使用相同的數詞序列),當學童不會混淆「1」和「5」這兩種單位點數的意義時,「5」才是一個真正的新單位。
  對學童而言,只使用一種單位與同時使用二種單位的困難度是不一樣的,如果學童在解題活動中只使用一種單位,當然不會發生單位混淆的問題,但是當學童在解題活動中同時使用兩種單位,就可能在換單位的過程中混淆兩種單位點數的意義。以問題「一隻狗有4條腿,5隻狗有多少條腿?」為例,學童可以透過畫一隻狗有4條腿的方式,先畫出5隻狗,再點數有多少條腿,學童在點數有幾隻狗的過程中,只使用「隻」一種單位,學童在點數有幾條腿的過程中,也只使用「條」一種單位,但是當繼續追問「5隻狗有20條腿,跑掉1隻狗還剩下多少條腿?」時,就會牽涉到混用「隻」與「條」兩種單位的問題,部份學童可能會回答「跑掉1隻狗後還剩下19條腿」,學童這樣回答的原因,可能混淆了「隻」與「條」這兩種單位點數的意義,學童決定有幾「隻」狗時,是透過點數「1、2、3、4、5」的方式得到答案,而學童決定有幾「條」腿時,也是透過點數「1、2、3、4、…、19、20」的方式得到答案,如果學童無法區分「隻」與「條」這兩種單位的點數意義,也就是說,無法分辨跑掉的「1」是點數有幾隻狗時的「1」,或是點數有幾條腿時的「1」時,就可能回答還剩下19條腿。
  人們只發展出一套數詞序列,這一套數詞序列可以用來點數有幾個人、有幾隻豬、摔了幾跤,也可以點數有幾個蘋果、有幾盤蘋果或幾箱蘋果。因此當使用數字「5」來代表數詞「ㄨˇ」時,只知道「5」是由5個「1」合成的,「5」代表什麼,由「1」是什麼來決定。以點數蘋果為例,如果「1」是1個蘋果,「5」就代表5個蘋果,如果「1」是1盒蘋果,「5」就代表5盒蘋果,如果「1」是1箱蘋果,「5」就代表5箱蘋果,至於5盒或5箱蘋果是多少個蘋果,就不是討論的範圍(由一盒或一箱有幾個蘋果決定)。

  數字「2.4」是以「1」為單位的記法,還是以「0.1」為單位的記法?有人認為數字「2.4」是一位小數,當然是以「0.1」為單位的記法,其實不然,數字「2.4」記錄了2.4個「1」,而不是記了 2.4 個「0.1」。以一條繩子長2.4公尺為例,2.4公尺記的是2.4個1公尺,如果以0.1公尺為單位,2.4公尺是24個0.1公尺。

單位的概念
 
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